Ο Απόστολος Σταύρου ήταν δικηγόρος στον Άρειο Πάγο. Σπούδασε νομικά και πολιτικές επιστήμες στη Νομική Σχολή Αθηνών. Στις εκλογές του 2004 και του 2007 εξελέγη βουλευτής Αττικής με τη ΝΔ, ενώ την περίοδο 1992-1993 διετέλεσε υφυπουργός Γεωργίας.
«Στην πολύχρονη πολιτική διαδρομή του ο Απόστολος, διακρίθηκε για το ήθος, τη συνέπεια, την σοβαρότητα, την εργατικότητά του», δήλωσε ο πρωθυπουργός Κυριάκος Μητσοτάκης για την απώλεια του πρώην υπουργού της ΝΔ, Απόστολου Σταύρου, εκφράζοντας τα θερμά του συλλυπητήρια στην οικογένειά του.
«Τιμώντας την εμπιστοσύνη των πολιτών, ανταποκρίθηκε επάξια στα υψηλά καθήκοντα που ανέλαβε κατά καιρούς κερδίζοντας τον σεβασμό όλων» πρόσθεσε, σημειώνοντας ότι «η οικογένεια της ΝΔ με θλίψη αποχαιρετά τον Απόστολο Σταύρου».
Η κηδεία του, σύμφωνα με την ενημέρωση της οικογένειας, θα τελεστεί την Τρίτη 14 Ιανουαρίου στις 15:00 στον Ι.Ν. Κοιμήσεως της Θεοτόκου στα Σπάτα. Επιθυμία της οικογένειας είναι αντί στεφάνων να γίνει δωρεά στη Μονάδα Ανακουφιστικής Φροντίδας «ΓΑΛΙΛΑΙΑ».